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高三数学二轮专题复*专题2三角函数与*面向量第4讲*面向量课件理

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第4讲 *面向量 【命题趋势】 本节在高考中主要考查: (1)*面向量的基本定理、 线性运 算及其几何意义;多以熟知的*面图形为背景进行考查, 多为选择题、 填空题, 难度中低档. (2)*面向量的数量积; 以选择题、填空题为主,难度较低;另外向量常与三角函 数、解三角形、不等式、解析几何结合,以解答题形式出 现. 【备考建议】 复*中要把握**面向量与“三角”交汇题的关 键:一是巧“化简”,即活用诱导公式、同角三角函数的 基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行化 简;二是会“转化”,把向量共线、向量垂直形式出现的 条件还其本来面目 , 转化为“对应坐标乘积之间的关 系”;三是活用“两定理”,解三角形的关键是正确分析 边角关系,在正、余弦定理的帮助下实现边角互化,即可 妙解三角形. 探究一 *面向量的线性运算 → =3CD →, 例 1 (1)设 D 为△ABC 所在*面内一点,BC 则( ) 1→ 4→ → A.AD=- AB+ AC 3 3 1→ 4→ → B.AD= AB- AC 3 3 4→ 1→ → C.AD= AB+ AC 3 3 4→ 1→ → D.AD= AB- AC 3 3 【解析】选 A. 1→ → 1 → → → → → → AD=AC+CD=AC+ BC=AC+ (AC-AB) 3 3 1→ 4→ =- AB+ AC.故选 A. 3 3 (2)已知点 P 是△ABC 所在*面内的一点 , CD 是 → 1-λ → 1 → △ABC 的中线,若PD= PA+ CB,其中λ ∈R,则 2 2 点 P 一定在( ) A.AB 边所在的直线上 B.AC 边所在的直线上 C.BC 边所在的直线上 D.△ABC 的内部 【解析】选 B. 连接 PB,PC.因为 CD 是△ABC 的中线,边 AB 的中 → +PB → =2PD →. 点为 D,所以PA 1- λ → 1 → → 因为PD= PA+ CB, 2 2 1 → → 1- λ → 1 → → 所以 (PA+PB)= PA+ (PB-PC), 2 2 2 → → 故PC=-λPA, 所以 A,C,P 三点共线,因此点 P 一定在 AC 边所 在的直线上,故选 B. 【点评】 用已知向量来表示一些未知向量是用向量解 题的基本要求, 除利用向量的加减法、 实数与向量相乘外, 还应充分利用*行四边形的一些定理.因此,在求向量时 要尽可能转化到*行四边形或三角形中, 选用从同一顶点 出发的基本向量或首尾相连的向量,运用向量加、减法运 算及实数与向量相乘来求解,即充分利用相等向量、相反 向量和线段的比例关系,运用三角形的加法法则、*行四 边形法则、 三角形的减法法则, 充分利用三角形的中位线、 相似三角形对应边成比例的*面几何性质, 把未知向量转 化为与已知向量有直接关系的向量来求解. 探究二 *面向量的数量积 → |=6, 例 2 (1)设四边形 ABCD 为*行四边形,|AB → |=4.若点 M, → =3MC →, → =2NC →, →· → |AD N 满足BM DN 则AM NM =( ) A.20 B.15 C.9 D.6 【解析】选 C. ?→ 3 → ? ?1 → 1 → ? → → ? ? AB- BC? (1)解法一: 如图, AM· NM= AB+4BC?· 3 4 ? ? ? ? ?→ 3 → ? ?1 → 1 → ? =?AB+4AD?·?3AB-4AD? ? ? ? ? 1→2 3 →2 1 3 2 = AB - AD = ×6 - ×42=9. 3 16 3 16 解法二:特殊化处理,将*行四边形 ABCD 视为矩 形,以 A 为坐标原点,以 AB 为 x 轴,AD 为 y 轴建立* →= 面直角坐标系,由已知可得 M(6,3),N(4,4),∴AM → =(2,-1),∴AM →· → =6×2-3×1=9. (6,3),NM NM 【点评】涉及数量积和模的计算问题,通常有两种求 解思路:①直接利用数量积的定义;②建立坐标系,通过 坐标运算求解. (2)已知 a,b 是两个非零向量,且|a|=|b|=λ|a+b|, ? 3 ? λ ∈? ,1?,则 b 与 a-b 夹角的取值范围是( ) 3 ? ? ?π π ? ?π π ? ? ? ? ? A.? , ? B.? , ? 2? 2? ?6 ?3 ?π 5π ? ?2π 5π ? ? ? ? ? C.? , D. , ?3 6 ? 6 ? ?3 ? ? ? 【解析】选 D. → =a,OB → =b,且以 OA 和 OB 为邻边作* 设向量OA 行四边形 OACB, 因为|a|=|b|, 所以四边形 OACB 是菱形, ? π? ? ? 设∠BOC=θ?0<θ< ?,则∠OBC=π-2θ, 2? ? |a| 在 △OBC 中 , 由 正 弦 定 理 可 得 = sin θ ?1 |a+b| 1 3? , 化 简 得 cos θ = ∈ ? , ? , 所 以 2λ ?2 2 ? sin (π-2θ) ?π π? ? π ? ? ? ?2π 5π? θ∈ ? , ? , 〈b,a-b〉=θ+ ∈? , ?. 2 3 3 6 6 ? ? ? ? ?2π 5π? ? 故 b 与 a-b 夹角的取值范围为? . , ? 3 ? 6 ? ? 【点评】在利用数量积的定义计算时,要善于将相关 向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算. 探究三 *面向量与三角函数结合问题 例 3 (1)已知向量 a=(cos α ,sin α ), b=(1+cos β ,-sin β ). π ①若 α= ,β ∈(0,π ),且 a⊥b,求 β; 3 ②若 β=α,求 a· b 的取值范围. ? 9 ? π 【解析】① ②?-8,2? 3 ? ? ①∵a⊥b, ∴a· b=cos α+cos αcos β-



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