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练*1.3 行列式按行(列)展开定理与克莱姆法则

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练* 1.3 行列式按行(列)展开定理与克莱姆法则
一、填空题:

?1 0
1. 已知 D ?

1 0 1 5

2 3 M , ij 表示第 i 行第 j 列元素的余子式, 则 M 12 ? M 22 ? M 32 ? M 42 ? 0 4
.

1 1 ?1 1 1 2

1 2
2. D n ? 2

2 2 2 ? 2

2 2 3 ? 2

? ? ? ? ?

2 2 2 ? ? n
.

? 2

3. 当 k ?

? kx ? y ? z ? 0 时, 方程组 ? ? x ? ky ? z ? 0 有非零解. ? x ? y ? kz ? 0 ?

二、选择题:

a11 ? x
1.设 f ( x) ?

a12 ? x

a13 ? x

a14 ? x
[ ]

a21 ? x a22 ? x a23 ? x a24 ? x , 则多项式 f ( x ) 次数最高可能为 a31 ? x a32 ? x a33 ? x a34 ? x a41 ? x a42 ? x a43 ? x a44 ? x
(B) 2 ; (C) 3 ; (D ) 4 .

(A) 1 ;

?A 2. 设 An ?a,且其每列元素之和为 k ?0, 则 A 的第一行元素的代数余子式之和 A 11 ? A 12 ?? 1n ? [
(A) ka ; (B)

]

a ; k

(C) ? ka ;

(D) ?

a . k
[ ]

3. 行列式 D 非零的充分条件是 (A) D 的所有元素非零; (C) D 至少有 n 个元素非零; (B) D 的任意两行元素之间不成比例; (D) 以 D 为系数行列式的齐次线性方程组有唯一解.

? x1 ? 2 x2 ? 2 x3 ? 0 4. 齐次线性方程组 ? ?2 x1 ? x2 ? ? x3 ? 0 只有零解, 则 ? 应满足的条件是 ? 3x ? x ? x ? 0 ? 1 2 3
(A) ? ? 0 ; (B) ? ? 2 ; (C) ? ? 1 ;

[

]

(D) ? ? 1 .

x x 0 1 1? x 1 三、证明: (1) 0 0 y 1 1

0 1 ? x2 y2 ; y

1 0 a 1 0 ?1 b ?1 (2) ? 3(a ? b ? d ) ?1 ?1 c 1 ?1 1 d
1

1 1? y

0
湖南大学数学与计量经济学院编

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四、计算下列行列式:

cos?
a (a ? 1) ? ( a ? n) n ?1 n ?1 a (a ? 1) ? (a ? n)n?1
n n n

1

0

?

0 0 0

0 0 0 ? 1 2cos?

(1) D ? ? n ?1

? a ?1 1

? ? ?

? a?n 1

; (2) Dn ?

1 0 ? 0 0

2cos ? 1 ? 1 2cos? ? ? 0 0 ? 0 0

a 1

? ? ? 2cos? ? 1

.

2

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